题目

如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，侧棱 底面 ， 垂直于 和 ， 为棱 上的点， . （1） 若 为棱 的中点，求证： 平面 ； （2） 当 时，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值. 答案： 解：取线段 SC 的中点 E ，连接 ME   ,   ED . 在 ΔSBC 中， ME 为中位线 ∴ ME//BC 且 ME=12BC ， ∵ AD//BC 且 AD=12BC ， ∴ ME//AD 且 ME=AD ∴四边形 AMED 为平行四边形. ∴ AD//DE . ∵ DE⊂ 平面 SCD   ,   AM⊄ 平面 SCD ， ∴ AM// 平面 SCD .  解：如图所示以点 A 为坐标原点，建立分别以 AD 、 AB 、 AS 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)   ,   B(0,3,0)   ,   C(2,3,0)   ,   D(1,0,0)   ,   S(0,0,3) ， 于是 AM→=AB→+12BS→=(0,32,32) AN→=AD→+34DC→=(1,0,0)+34(1,3,0)=(74,334,0) 设平面 AMN 的一个法向量为 n→=(x,y,z) ，则 {AM⇀⋅n⇀=0AN⇀⋅n⇀=0 ， 将坐标代入并取 y=7 ，得 n→=(−33,7,−7) . 另外易知平面 SAB 的一个法向量为 m→=(1,0,0) ， 所以平面 AMN 与平面 SAB 所成的锐二面角的余弦为 m→⋅n→|m→||n→|=31525 .

查看本题答案和解析