题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D． （1） 求该二次函数的解析式； （2） 如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3） 如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标． 答案： 解：∵二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，∴ {4a−2b−4=064a+8b−4=0 ，解得 {a=14b=−32 ，∴该二次函数的解析式为y= 14 x2﹣ 32 x﹣4； 解：由二次函数y= 14 x2﹣ 32 x﹣4可知对称轴x=3，∴D（3，0），∵C（8，0），∴CD=5，由二次函数y= 14 x2﹣ 32 x﹣4可知B（0，﹣4），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴ {8k+b=0b=−4 ，解得 {k=12b=−4 ，∴直线BC的解析式为y= 12 x﹣4，设E（m， 12  m﹣4），当DC=CE时，EC2=（m﹣8）2+（ 12 m﹣4）2=CD2，即（m﹣8）2+（ 12 m﹣4）2=52，解得m1=8﹣2 5 ，m2=8+2 5 （舍去），∴E（8﹣2 5 ，﹣ 5 ）；当DC=DE时，ED2=（m﹣3）2+（ 12 m﹣4）2=CD2，即（m﹣3）2+（ 12 m﹣4）2=52，解得m3=0，m4=8（舍去），∴E（0，﹣4）；当EC=DE时，（m﹣8）2+（ 12 m﹣4）2=（m﹣3）2+（ 12 m﹣4）2解得m5=5.5，∴E（ 112 ，﹣ 54 ）．综上，存在点E，使得△CDE为等腰三角形，所有符合条件的点E的坐标为（8﹣2 5 ，﹣ 5 ）、（0，﹣4）、（ 112 ，﹣ 54 ）． 解：过点P作y轴的平行线交x轴于点F，∵P点的横坐标为m，∴P点的纵坐标为 14m2−32 m﹣4，∵△PBD的面积S=S梯形﹣S△BOD﹣S△PFD= 12 m[4﹣（ 14m2−32 m﹣4）]﹣ 12 （m﹣3）[﹣（ 14m2−32 m﹣4）]﹣ 12 ×3×4=﹣ 38 m2+ 174 m=﹣（ 38 m﹣ 173 ）2+ 28924 ，∴当m= 173 时，△PBD的最大面积为 28924 ，∴点P的坐标为（ 173 ，﹣ 16136 ）．

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