题目

已知函数 ， 其中. （1） 若曲线在处的切线与直线平行，求的值； （2） 若函数在定义域内单调递增，求的取值范围. 答案： 解：由题可知f′(x)=ex(a+lnx+1x2)，则f′(1)=e(a+1)=−e，解得a=−2. 解：∵f(x)=ex⋅(a+lnx−1x)在(0，+∞)上是增函数，∴f′(x)=ex(a+lnx+1x2)≥0对x∈(0，+∞)恒成立，∴a≥−1x2−lnx(x>0)，令g(x)=−1x2−lnx，则由g′(x)=2x3−1x=1x(2x2−1)=0得x=2，当x∈(0，2)时，g′(x)>0，当x∈(2，+∞)时，g′(x)<0，∴g(x)在x∈(0，2]上单调递增，在x∈(2，+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(2)=−12−12ln2，故只需a≥g(x)max=−12−12ln2，故a的取值范围是[−12−12ln2，+∞).

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