题目

已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 ，过点 ． （1） 求双曲线C的标准方程； （2） 是否存在被点 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由． 答案： 解：双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为 y=±2x ， 设双曲线方程为： x2−y22=λ ，过点 P(62,1) ． 可得 λ=1 ， 所求双曲线方程为： x2−y22=1 ． 解：假设直线l存在． 设 B(1,1) 是弦MN的中点， 且 M(x1,y1) ， N(x2,y2) ，则 x1+x2=2 ， y1+y2=2 ． ∵M ，N在双曲线上， ∴{2x12−y12=12x22−y22=1 ， ∴2(x1+x2)(x1−x2)−(y1−y2)(y1+y2)=0 ， ∴4(x1−x2)=2(y1−y2) ， ∴k=y1−y2x1−x2=2 ， ∴ 直线l的方程为 y−1=2(x−1) ，即 2x−y−1=0 ， 联立方程组 {2x2−y2=22x−y−1=0 ，得 2x2−4x+3=0 ∵△=16−4×3×2=−8<0 ， ∴ 直线l与双曲线无交点， ∴ 直线l不存在．

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