题目

在平面直角坐标系中已知抛物线 经过点 和点 ，点D为抛物线的顶点. （1） 求抛物线 的表达式及点D的坐标； （2） 将抛物线 关于点 对称后的抛物线记作 ，抛物线 的顶点记作点E，求抛物线 的表达式及点 的坐标； （3） 是否在 轴上存在一点 ，在抛物线 上存在一点 ，使 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 点坐标，若不存在，请说明理由. 答案： 解： ∵ 把 A(−1，0) 和 B（3，0） 代入有 y＝ax2＋bx－3 得： {0=a−b−30=9a+3b−3 ∴ {a=1b=−2 ∴ L1的函数表达式为 y＝x2－2x－3 ，顶点D的坐标为 (1，−4) . 解： ∵ L1 与 L2 关于点 A 对称， L1 的顶点D的坐标为 (1，−4) ， ∴ E 点坐标为 (−3，4) ， ∴ L2的函数表达式为 y=−(x+3)2+4=−x2−6x−5 ； 解：存在，理由如下： 如下图所示，当DE为四边形 DPEQ 的对角线时， ∵ 点D与点E关于点A对称， ∴ 点A为平行四边形 DQEP 的对称中心， 当P与B重合时，点 Q 为 B 关于 A 的对称点，此时Q点坐标为 (−5，0) . ②当DE为平行四边形 DPEQ 的边时， 过点Q作 QF⊥x 轴于点F，过点E作 y 轴的平行线，过点D作 x 轴的平行线，两线交于一点M， ∵ 四边形 DEPQ 是平行四边形， ∴ DE//PQ，DE＝PQ ， 此时容易证明 △PQF 和 △DEM 全等，得出 FQ＝EM＝8 ，即 Q 点的纵坐标为 −8 ， 把 y＝－8 代入 y＝－x2－6x－5 得 －8＝－x2－6x－5 ， 解得： x1=−3+23 ， x2=−3−23 ， 此时点 Q 的坐标 x1=−3+23 ， x2=−3−23 ， 综上所述 Q 点共有三个，坐标分别是 Q1(−5，0)，Q2(−3+23，−8)，Q3(−3−23，−8) .

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