题目

如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。 （1） 证明：平面 平面 （2） 当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。 答案： 解：因为 BC⊥CD ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD 又DM ⊂ 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC 又 BC∩MC=C 即 DM⊥面BCM 又DMC ⊂ 面AMD 所以 平面 AMD⊥平面BMC   解：∵△ABC的面积为定值， ∴要使三棱锥M-ABC体积最大，则三棱锥的高最大， 此时M为圆弧的中点， 建立以0为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 ∵正方形ABCD的边长为2， ∴A (2，-1， 0)，B(2，1，0)，M(0，0，1) ， 则平面MCD的法向量m→= ( 1 ， 0， 0) ， 设平面MAB的法向量为n→= (x ，y，z) 则AB→= (0， 2，0) ， AM→= (-2，1， 1)， 由n→.AB→=2y=0 ， n→. AM→=-2x+y+z=0 ， 令x=1 则y=0， z=2 ，即n→= (1 ，0，2)， 则cos<m→，n→>=m→·n→m→n→=11×1+4=15 则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=1-152=255  

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