题目

如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝ ，D是AB边的中点，E是AC边上一点，联结DE，过点D作DF⊥DE交BC边于点F，联结EF. （1） 如图1，当DE⊥AC时，求EF的长； （2） 如图2，当点E在AC边上移动时，∠DFE的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE的正切值； （3） 如图3，联结CD交EF于点Q，当△CQF是等腰三角形时，请直接写出BF的长. 答案： 解：∵ ∠ACB=90° ， cosA=45 ∴ ACAB=45 ∵ AC=8 ∴ AB=10 ∵ D 是 AB 边的中点 ∴ AD=12AB=5 ∵ DE⊥AC ∴ ∠DEA=∠DEC=90° ∴ cosA=AEAD=45 ∴ AE=4 ∴ CE=8−4=4 ∵在 Rt△AED 中， AE2+DE2=AD2 ∴ DE=3 ∵ DF⊥DE ∴ ∠FDE=90° 又∵ ∠ACB=90° ∴四边形 DECF 是矩形 ∴ DF=EC=4 ∵在 Rt△EDF 中， DF2+DE2=EF2 ∴ EF=5 解：不变 过点 D 作 DH⊥AC ， DG⊥BC ，垂足分别为点 H 、 G 由（1）可得 DH=3 ， DG=4 ∵ DH⊥AC ， DG⊥BC ∴ ∠DHC=∠DGC=90° 又∵ ∠ACB=90° ， ∴四边形 DHCG 是矩形 ∴ ∠HDG=90° ∵ ∠FDE=90° ∴ ∠HDG−∠HDF=∠EDF−∠HDF 即 ∠EDH=∠FDG 又∵ ∠DHE=∠DGF=90° ∴ △EDH∽△FDG ∴ DEDF=DHDG=34 ∵ ∠FDE=90° ∴ tan∠DFE=DEDF=34 解：1°当 QF=QC 时，易证 ∠DFE+∠QFC=90° ，即 ∠DFC=90° 又∵ ∠ACB=90° ，D是AB的中点 ∴ CD=BD=12AB=5 ∴ BF=CF=12BC=3 2°当 FQ=FC 时，易证 △FQC∽△DEQ∽△DCB ∵在 Rt△EDF 中， tan∠DFE=DEDF=34 ∴设 DE=3k ，则 DF=4k ， EF=5k 当 FQ=FC 时，易证 DE=DQ=3k ， ∴ CQ=5−3k ∵ △DEQ∽△DCB ∴ DEEQ=DCBC=56 ∴ EQ=185k ∴ FQ=FC=75k ∵ △FQC∽△DCB ∴ FQCQ=DCBC=56 ∴ 75k5−3k=56 解得 k=125117 ∴ FC=75×125117=175117 ∴ BF=6−175117=527117 3°在BC边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出 DK=25 当 CF=CQ 时，易证 △CFQ∽△EDQ∽△BDK ∴设 DE=3k ，则 EQ=3k ， EF=5k ∴ FQ=2k ∵ △EDQ∽△BDK ∴ DEDQ=BDDK=525 ∴ DQ=655k ∴ CQ=FC=5−655k ∵ △CQF∽△BDK ∴ CQFQ=BDDK=525 ∴ 5−655k2k=525 解得 k=5511 ∴ FC=2511 ∴ BF=6−2511=4111

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