题目

如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED． （1） 求证：DE⊥EF； （2） 求证：BC2＝2DF•BF． 答案： 证明：∵AF⊥BC于点F， ∴∠AFB＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝FE， ∴∠EAF＝∠AFE， ∵AE2＝EG•ED， ∴ AEEG=DEAE ， ∵∠AEG＝∠DEA， ∴△AEG∽△DEA， ∴∠EAG＝∠ADG， ∵∠AGD＝∠FGE， ∴∠DAG＝∠FEG， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AFB＝90°， ∴∠FEG＝90°， ∴DE⊥EF； 证明：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED， ∴FE2＝EG•ED， ∴ EFDE=EGEF ， ∵∠FEG＝∠DEF， ∴△FEG∽△DEF， ∴∠EFG＝∠EDF， ∴∠BAF＝∠EDF， ∵∠DEF＝∠AFB＝90°， ∴△ABF∽△DFE， ∴ ABDF=BFEF ， ∵四边形ACBD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠AFB＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴FE＝ 12 AB＝ 12 BC， ∴ BCDF ＝ BF12BC ， ∴BC2＝2DF•BF．

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