题目

阅读材料题： 浙教版九上作业本①第18页有这样一个题目：已知，如图一，P是正方形ABDC内一点，连接PA、PB、PC，若PC=2，PA=4，∠APC=135°，求PB的长. （1） 小明看到题目后，思考了许久，仍没有思路，就去问数学老师，老师给出的提示是：将△PAC绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，再利用勾股定理即可求解本题. 请根据数学老师的提示帮小明求出图一中线段PB的长为. （2） 【方法迁移】：已知：如图二，△ABC为正三角形，P为△ABC内部一点，若PC=1，PA=2，PB= ,求∠APB的大小. （3） 【能力拓展】：已知：如图三，等腰三角形ABC中∠ACB=120°，D、E是底边AB上两点且∠DCE=60°，若AD=2，BE=3，求DE的长. 答案： 【1】6 解：如图，把△APC绕A点顺时针旋转60°得到△AP'B，∵AP=AP', ∠PAP'=60°，∴△PAP'是等边三角形，PP'=PA=2，∴P'B=PC=1，PB=3, ∴PP'2=PB2+P'B2=4 , ∴∠P'BP=90°，∵P'B=1，PP'=2, ∴P'B=12PP'，∴∠BPP'=30°，∴∠APB=∠APP'+∠P'PB=60°+30°=90°. 解： 如图，把△ACD逆时针旋转60°得△CFM，在CD上取一点N，使CN=CE，连接NF，易知△CNF是由△CMB顺时针旋转60°得到，则NF=BE=3，MF=AD=2， ∠MFN= ∠ MFC+NFC= ∠ CBE+CAD=60°，过N作NG⊥FM，FG=12FN=32，NG=323，∴MG=FM-FG=2-32=12，∴MN=NG2+MG2=(12)2+(332)2=284=7,∵CN=CE， ∠ DCE= ∠ MCN, CM=CD，∴  △ DCE≌ △ MCN（SAS），∴DE=CN=7.

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