题目

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF． （1） 求证：CD=BF； （2） 求证：AD⊥CF； （3） 连接AF，试判断△ACF的形状． 答案： 证明：∵AC∥BF，且∠ACB=90°， ∴∠CBF=90°， 又AC=BC， ∴∠DBA=45°， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=∠BEF=∠DBF=90°， ∴∠BDE=∠BFE=45°， ∴BD=BF， 又D为BC中点， ∴CD=BD， ∴CD=BF 证明：由（1）可知CD=BF， 且CA=CB，∠ACB=∠CBF=90°， 在△ACD和△CBF中 {CD=BF∠ACD=∠CBFAC=BC ∴△ACD≌△CFB（SAS）， ∴∠CAD=∠BCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠CAD+∠CDA=90°， ∴∠BCF+∠CDA=90°， ∴∠CGD=90°， ∴AD⊥CF 解： 由（2）可知△ACD≌△CBF， ∴AD=CF， 由（1）可知AB垂直平分DF， ∴AD=AF， ∴AF=CF， ∴△ACF为等腰三角形

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