题目

平面直角坐标系 中，已知椭圆 ，抛物线 的焦点 是 的一个顶点，设 是 上的动点，且位于第一象限，记 在点 处的切线为 .   （1） 求 的值和切线 的方程（用 表示） （2） 设 与 交于不同的两点 ，线段 的中点为 ，直线 与过 且垂直于 轴的直线交于点 . （i）求证：点 在定直线上; （ii）设 与 轴交于点 ，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值. 答案： 解：由题意可得 e=ca=25 ， b=1 ，所以抛物线的焦点F为 (0,1) ，则 p=2 ， E：x2=4y . 直线 l 的斜率为 y=x02 ，所以切线方程 y=x02(x−x0)+y0 ，利用 x02=4y0 化简可得： 2(y+y0)=xx0 . 解：（i）证明：设 P(x0,y0) ， A(x1,y1),B(x2,y2) 由点差法可得 kOD⋅kAB=−15 ， kAB=12x0 ，即有 kOD=−25x0 ， 直线OD的方程为 y=−25x0x ，当 x=x0 时，可得 y=−25 即有点M在定直线 y=−25 上；（ii）直线l的方程为 y=12x0x−y0 ，令 x=0 ，可得 G(0,−y0) ， 则 S1=12|FG||x0|=12x0(1+y0) ， S2=12|PM||y0+252y0+25⋅x0|=12(y0+25)22y0+25⋅x0 则 S1S2=(2y0+25)(1+y0)(y0+25)2 令 y0+25=t(t≥25) ， 则 S1S2=2(t−15)(t+35)t2=2(3t−35)(t+35)3t2≤2(3t−35+t+352)23t2=2⋅4t23t2=83 当 t=35 ，即 y0=15 时， S1S2 取得最大值 83

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