题目

已知抛物线 ，焦点到准线的距离为4，过点 的直线交抛物线于 两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如果点 恰是线段 的中点，求直线 的方程． 答案：解：（I）依题意得 p=4 ，抛物线方程为 y2=8x ；（Ⅱ）解：由题设可知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y=k(x−1)−1 ， A(x1,y1) , B(x2,y2)  ，由 {y2=8xy=k(x−1)−1 ，消去 x ，得 ky2−8y−8k−8=0 ，易知 Δ=32(k+12)2+56>0 ， y1+y2=8k ，又 y1+y2=−2 所以 8k=−4 ，所以直线 AB 的方程是 y=−4(x−1)−1 ，即 4x+y−3=0

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