题目

数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知 中，AB=AC=m ， ，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a ， 得线段PD ， 设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和 的度数 ，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1） 填空： （问题发现） 小明研究了 时，如图1，求出了 ， ； 小红研究了 时，如图2，求出了 ， ； （类比探究） 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了 ； （归纳总结） 最后他们终于共同探究得出规律： (用含m、n的式子表示)； (用含α的式子表示)． （2） 求出 时 的值和 的度数． 答案： 【1】12【2】60°【3】22【4】45°【5】n2m【6】180°−a2 解：如图3．连接 AE 、 PF ∵ AB=AC ， E 是 BC 中点 ∴ AE⊥BC ∠CAE=∠BAE 又∵ ∠BAC=120° ∴ ∠EAC=60° ， ∠ACB=∠ABC=30° ∴ sin∠EAC=ECAC=32 同理 ∠PCD=∠PDC=30° ∴ sin∠FPC=CFPC=32 ∴ ECAC=CFPC 又∵ ∠FCE=∠FCA+∠ACE=∠FCA+30° ∠FCA+∠PCD=∠FCA+30° ∴ ∠FCE=∠PC ∴ △PCA∽△FCE ∵ EFPA=ECAC=32 ， ∠CEF=∠CAP 延长 EF 、 AP ，交于点 G ∴ AC 与 EG 相交 ∴ ∠AGE=∠ACE=30° ∴ β=30°

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