题目

如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆. （1） 求证：AC是⊙O的切线； （2） 过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF； （3） 若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长. 答案： 证明：如图，连接OE.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC是⊙O的切线； 证明：如图，连结DE.∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH.∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE.在△CDE与△HFE中，{∠CDE=∠HFE∠C=∠EHF=900EC=EH，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF. 解：由（2）得，CD=HF.又CD=1∴HF＝1在Rt△HFE中，EF=32+12＝10∵EF⊥BE∴∠BEF=90°∴∠EHF=∠BEF=90°∵∠EFH=∠BFE∴△EHF∽△BEF∴EFBF=HFEF，即10BF=110∴BF=10∴OE=12BF=5，OH=5−1=4，∴在Rt△OHE中，cos∠EOA=45，∴在Rt△EOA中，cos∠EOA=OEOA=45，∴5OA=45∴OA=254∴AF=254−5=54.

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