题目

如图1所示，梯形ABCD中，AD＝2AB＝2BC＝2CD＝4．E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2） （1） 求证：AF⊥CD； （2） 求平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值． 答案： 证明：由题意，AE＝BC＝2，又因为AE//BC，所以四边形ABCE为平行四边形且为菱形，所以AF⊥BE．在图2中，因为AF⊥BE，平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE＝BE，AF⊂平面ABE，所以AF⊥平面BCDE，又因为CD平面BCDE，所以AF⊥CD． 解：由（1）知AF，BE，FC两两垂直，以FB→，FC→，FA→为一组正交基底建立空间直角坐标系，则有B(1，0，0)，C(0，3，0)，E(－1，0，0)，D(－2，3，0)，A(0，0，3)，显然FB⊥平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为FB→＝(1，0，0)．设平面ADE的一个法向量为n→＝(x，y，z)．而EA→=(1，0，3)，ED→=(−1，3，0)，所以{n→.EA⇀=0n→.ED⇀=0，即{x+3z=0，−x+3y=0，取x=3 ，则n→=(3，1，−1)，所以cos〈n→，FB→〉=31⋅3+1+1=35，则sin〈n→，FB→〉=1−35=105，即平面AFC与平面ADE所成的二面角的正弦值为105 .

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