题目

已知函数 （1） 求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若函数 恰有 个零点，求实数 的取值范围 答案： 解：∵ f(x)=ex−2x ，∴ f'(x)=ex−2 ．∴ f'(0)=−1 ，又 f(0)=1 ，∴曲线 y=f(x) 在点 (0，f(0)) 处的切线方程为 y−1=−x ，即 x+y−1=0 解：由题意得 g(x)=ex−2x−a ，∴ g'(x)=ex−2 ，由 g'(x)=ex−2=0 解得 x=ln2 ，故当 −1≤x<ln2 时， g'(x)<0 ， g(x) 在 [−1，ln2) 上单调递减；当 ln2<x≤1 时， g'(x)>0 ， g(x) 在 (ln2，1] 上单调递增．∴ g(x)min=g(ln2)=2−2ln2−a ，又 g(−1)=e−1+2−a，g(1)=e−2−a ，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则 {g(−1)=e−1+2−a≥0g(1)=e−2−a≥0g(ln2)=2−2ln2−a<0  ，解得 2−2ln2<a≤e−2 ．∴实数 a 的取值范围为 (2−2ln2，e−2] ．

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