题目

已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）. （1） 求抛物线E的方程； （2） 过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值. 答案： 解：由题意可得{m2=8p，12×p2⋅|m|=12p2，解得p=2.故抛物线E的方程为y2=4x 解：由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为x=ty+1，t≠0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由{x=ty+1，y2=4x，消去x得y2−4ty−4=0.所以y1+y2=4t，y1y2=−4.由AC垂直于l，直线AC的方程为y−y1=−t(x−x1)由{y−y1=−t(x−x1)，y2=4x，消去x得ty2+4y−4tx1−4y1=0.所以y1+y3=−4t，y1y3=−4tx1−4y1t.∴|AC|=(x1−x3)2+(y1−y3)2=(1+1t2)[(y1+y3)2−4y1y3]=(1+1t2)16+16t2x1+16ty1t2=(1+1t2)16+4t2y12+16ty1t2=2t2+1t2⋅|ty1+2|=2t2+1t2⋅(ty1+2).同理可得|BD|=2t2+1t2⋅(ty2+2)，所以|AC|+|BD|=2t2+1t2⋅[t(y1+y2)+4]=8t2+1t2(t2+1)=8(t2+1)3t4，令f(x)=(x+1)3x2，x>0，则f′(x)=(x+1)2(x−2)x3，x>0所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.所以当x=2时，f(x)取得最小值，即当t=±2时，|AC|+|BD|最小值为123.

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