题目

如图，将函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象沿y轴翻折得到一个新的图象，前后两个图象其实就是函数y=x2﹣2|x|的图象． （1） 观察思考 函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；方程x2﹣2|x|=2有个实数根；关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是； （2） 拓展探究 ①如图2，将直线y=x+1向下平移b个单位，与y=x2﹣2|x|的图象有三个交点，求b的值； ②如图3，将直线y=kx（k＞0）绕着原点旋转，与y=x2﹣2|x|的图象交于A、B两点（A左B右），直线x=1上有一点P，在直线y=kx（k＞0）旋转的过程中，是否存在某一时刻，△PAB是一个以AB为斜边的等腰直角三角形（点P、A、B按顺时针方向排列）．若存在，请求出k值；若不存在，请说明理由． 答案： 【1】3【2】3【3】2【4】﹣1＜a＜0 解：①设平移后的直线的解析式为y=x+1﹣b，观察图象可知，当直线y=x+1﹣b经过原点或与抛物线y=x2+2x只有一个交点时，与y=x2﹣2|x|的图象有三个交点，∴1﹣b=0，b=1，由 {y=x+1−by=x2+2x , 消去y得到x2+x﹣1+b=0，由题意△=0，∴1﹣4（﹣1+b）=0，∴b= 54 ，综上所述，满足条件的b的值为1或 54 ．②如图3中，作BE⊥直线x=1于E，AF⊥直线x=1于F．∵∠AFP=∠PEB=∠APB=90°，∴∠APF+∠PAF=90°，∠APF+∠BPE=90°，∴∠PAF=∠BPE，∵PA=PB，∴△PAF≌△BPE，∴AF=PE，PF=BE，由 {y=kxy=x2+2x ,解得 {x=0y=0 或 {x=k-2y=k(k-2) ，∴A[k﹣2，k（k﹣2）]，由 {y=kxy=x2−2x ，解得 {x=0y=0 或 {x=k+2y=k(k+2) ，∴B[k+2，k（k+2）]，∴BE=PF=k+1，AF=PE=3﹣k，∴P（1，k2﹣3k﹣1），∴k2+2k﹣（k2﹣3k﹣1）=3﹣k，∴k= 13 ．

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