题目

已知a∈R，函数f（x）=log2（ +a）． （1） 当a=1时，解不等式f（x）＞1； （2） 若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值； （3） 设a＞0，若对任意t∈[ ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 答案： 解：当a=1时，不等式f（x）＞1化为： log2(1x+1) ＞1， ∴ 1x+1> 2，化为： 1x>1 ，解得0＜x＜1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1） 解：方程f（x）+log2（x2）=0即log2（ 1x +a）+log2（x2）=0，∴（ 1x +a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0， 若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a= −14 ，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或﹣ 14 解：a＞0，对任意t∈[ 12 ，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减， ∴ log2(1t+a) ﹣ log2(1t+1+a) ≤1，∴ (1+ta)(t+1)t[1+a(t+1)] ≤2，化为：a≥ 1−tt2+t =g（t），t∈[ 12 ，1]，g′（t）= −(t2+t)−(1−t)(2t+1)(t2+t)2 = t2−2t−1(t2+t)2 = (t−1)2−2(t2+t)2 ≤ (12−1)2−2(14+12)2 ＜0，∴g（t）在t∈[ 12 ，1]上单调递减，∴t= 12 时，g（t）取得最大值， g(12) = 23 ．∴ a≥23 ．∴a的取值范围是 [23，+∞)

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