题目

如图，在直角梯形AEFB中， ， ，且 ，直角梯形 可以通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转得到. （1） 求证：平面 平面 ； （2） 若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：在直角梯形AEFB中， AE⊥EF ，且直角梯形 D1EFC1 是通过直角梯形AEFB以直线EF为轴旋转而得， 所以 D1E⊥EF ，所以 BF⊥EF ， C1F⊥EF . 所以 EF⊥平面 BC1F . 所以平面 C1D1EF⊥ 平面 BC1F 解：由（1）可知 BF⊥EF ， C1F⊥EF . 因为二面角 C1−EF−B 为 π3 ，所以 ∠C1FB=π3 过点F作平面AEFB的垂线，如图，建立空间直角坐标系 F−xyz . 设 BF=EF=2AE=4 ，则： E(4，0，0) ， C1(0，2，23) ， D1(4，1，3) ， B(0，4，0) ， A(4，2，0) . 所以 AB→=(−4，2，0) ， C1B→=(0，2，−23) ， C1B→=(0，2，−23) ， FD1→=(4，1，3) . 设平面 ABC1 的法向量为 n=(x，y，z) ，则 {n⋅AB→=0，n⋅C1B→=0 即 {−4x+2y=0，2y−23z=0. 令 z=1 ，则 y=3 ， x=32 . 于是 n=(32，3，1) . 所以直线 D1F 与平面 ABC1 所成角的正弦值 |n⋅FF1→|n‖FD1¯||=|43192×25|=428595

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