题目

将函数 的图像向左平移 个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到 的图像. （1） 求 的单调递增区间； （2） 若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 答案： 解：函数 y=3sin2x 的图像向左平移 π6 个单位长度可得 y=3sin(2x+π3) ， 然后将 y=3sin(2x+π3) 上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍可得 f(x)=3sin(x+π3) ， 令 2kπ−π2⩽x+π3⩽2kπ+π2,k∈Z ，即 x∈[2kπ−5π6,2kπ+π6],k∈Z ， 故 f(x) 的单调递增区间为 [2kπ−5π6,2kπ+π6],k∈Z . 解：因为 x∈[−π2,π2] ，所以 −π6⩽x+π3⩽5π6 ， 所以函数 f(x) 在 [−π2,π2] 上的最大值为 3 ，此时 x+π3=π2 ，即 x=π6 ， 最小值为 −32 ，此时 x+π3=−π6 ，即 x=−π2 . 对于任意的 x∈[−π2,π2] ，不等式 |f(x)−m|<3 恒成立， 即 m−3<f(x)<m+3 恒成立， {f(x)max<m+3f(x)min>m−3 ， 所以 {3<m+3−32>m−3 ， 0<m<32 ，故实数 m 的取值范围为 (0,32) 。

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