题目

已知：AB是⊙0直径，C是⊙0外一点，连接BC交⊙0于点D，BD=CD，连接AD、AC. （1） 如图1，求证：∠BAD=∠CAD （2） 如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙0于点E，延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K，求证AK=2OF； （3） 如图3，在(2)的条件下，EH交AD于点L，若0K=1，AC=CG，求线段AL的长. 答案： 解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=90°．∵BD=CD，∠BDA=∠CDA，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD． 解：连接BE．∵弧BG=弧BG ，∴∠GAB=∠BEG．∵CF⊥AB，∴∠KFE=90°．∵EH⊥AG，∴∠AHE=∠KFE=90°，∠AKH=∠EKF，∴∠HAK=∠KEF=∠BEF．∵FE=FE，∠KFE=∠BFE=90°，∴△KFE≌△BFE，∴BF=KF= 12 BK．∵ OF=OB-BF，AK=AB-BK，∴AK=2OF． 解：连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB= α ．∵AC=CG， ∴点C在AG的垂直平分线上．∵ OA=OG，∴点O在AG的垂直平分线上，∴CM垂直平分AG，∴AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°．∵AF⊥CG，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF=∠GCM = α ．∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB= 90°，∴∠AGB=∠CMG=90°．∵AB=AC=CG ，∴△AGB≌△CMG，∴BG=GM= 12 AG．在Rt△AGB中， tan∠GAB=tanα=GBAG=12 ．∵∠AMC=∠AGB= 90°，∴BG∥CM， ∴∠BGC=∠MCG= α ．设BF=KF=a， tan∠BGF=tanα=BFGF=12 ，∴GF=2a， tan∠GAF=tanα=GFAF=12 ，AF=4a．∵OK=1，∴OF=a+1，AK=2OF=2（a+1），∴AF=AK+KF=a+2（a+1）=3a+2，∴3a+2=4a，∴a=2， AK=6，∴AF=4a=8，AB=AC=CG=10，GF=2a=4，FC=CG-GF=6．∵tanα=tan∠HAK= HKAH=12 ，设KH=m，则AH=2m，∴AK= m2+(2m)2 =6，解得：m= 655 ，∴AH=2m= 1255 ．在Rt△BFC中， tan∠BCF=BFFC=13 ．∵∠BAD+∠ABD=90°， ∠FBC+∠BCF=90°，∴∠BCF=∠BAD， tan∠BAD=tan∠BCF=13 ，∴tan∠GAD= tan∠GAF+tan∠BAD1−tan∠GAF⋅tan∠BAD = 12+131−12×13=1 ，∴∠GAD=45°，∴HL=AH，AL= 2 AH= 12105 ．

查看本题答案和解析