题目

已知函数f（ ）=﹣ x3+ x2﹣m，g（x）=﹣ x3+mx2+（a+1）x+2xcosx﹣m． （1） 若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x1 ， f（x1）），B（x1 ， f（x2））处的切线都经过点（2，t），求证：t=3m﹣8，或t=﹣ m3+ m2﹣m． （2） 当x∈[0，1]时，若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围． 答案： 解：证明：由f（ x2 ）=﹣ 18 x3+ m4 x2﹣m，可得f（x）=﹣x3+mx2﹣m， f′（x）=﹣3x2+2mx，可得A处的切线方程：y﹣（﹣x13+mx12﹣m）=（﹣3x12+2mx）（x﹣x1），同理可得B处的切线方程：y﹣（﹣x23+mx22﹣m）=（﹣3x22+2mx）（x﹣x2），代入点（2，t），可得x1，x2为方程t﹣（﹣x3+mx2﹣m）=（﹣3x2+2mx）（2﹣x）的两个不等实根，化简整理可得，2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t=0，令g（x）=2x3﹣（m+6）x2+4mx﹣m﹣t，g′（x）=6x2﹣2（m+6）x+4m=2（3x﹣m）（x﹣2），由g′（x）=0，可得x=2或x= m3 ．g（2）=3m﹣8﹣t，g（ m3 ）=﹣ 127 m3+ 23 m2﹣m﹣t，由题意可得g（x）必有一个极值为0，则t=3m﹣8，或t=﹣ 127 m3+ 23 m2﹣m 解：当x∈[0，1]时，若f（x）≥g（x）恒成立， 即为﹣x3+mx2﹣m≥﹣ 12 x3+mx2+（a+1）x+2xcosx﹣m，即有 12 x3+（a+1）x+2xcosx≤0，当x=0时，上式显然成立；当0＜x≤1时，即有﹣a﹣1≥ 12 x2+2cosx恒成立，令m（x）= 12 x2+2cosx，m′（x）=x﹣2sinx，m′′（x）=1﹣2cosx，由0＜x≤1时，1＜2cos1≤2cosx＜2，则1﹣2cosx＜0，y=x﹣2sinx在（0，1]递减，可得x﹣2sinx＜0，则m（x）在（0，1]递减，可得m（x）＜m（0）=2，则﹣a﹣1≥2，解得a≤﹣3．a的取值范围是（﹣∞，﹣3]

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