题目

已知函数 ． （1） 若是偶函数，求的值； （2） 若方程有两个不等的实数根 ， ， 比较与1的大小； （3） 设函数 ， 若 ， ， 使得在定义域上单调递增，且值域为 ， 求的取值范围． 答案： 解：g(x)定义域为R，因为g(x)是偶函数，所以g(−x)=g(x)，即log2(4−x+1)−kx=log2(4x+1)+kx，即−log24x−2kx=0，所以−2(1+k)x=0恒成立，所以k=−1； 因为f(x)=log2x，所以方程|f(x)|−2−x=0，即|log2x|=2−x，在同一坐标系中作出函数y=|log2x|，y=2−x的图象，如图所示：因为x1<x2，由图可知，0<x1<1<x2，所以−log2x1=2−x1=(12)x1，log2x2=2−x2=(12)x2，所以(12)x2−(12)x1=log2x2+log2x1=log2(x1x2)，因为x1<x2，所以(12)x2−(12)x1<0，故log2(x1x2)<0，故x1x2<1； 函数F(x)=mf2(x)−f(x24)=m(logx)2−2log2x+2，x∈[2a，2b]，令t=log2x，则h(t)=mt2−2t+2，t∈[a，b]，因F(x)在定义域[2a，2b]上单调递增，且值域为[a，b]，所以h(t)在[a，b]上单调递增，且值域为[a，b]，因为m>0，所以二次函数h(t)的图象开口向上，对称轴为t=1m，所以[a，b]⊆[1m，+∞)，h(t)在[a，b]上单调递增，所以{h(a)=ah(b)=b，即{ma2−2a+2=amb2−2b+2=b，所以方程mx2−3x+2=0在[1m，+∞)上有两个不相等的实数根，则有{Δ=9−8m>032m>1mm(1m)2−3×1m+2≥0解得1≤m<98；所以实数m的取值范围为1≤m<98．

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