题目

已知椭圆 ： 的上顶点 与下顶点 在直线 ： 的两侧，且点 到 的距离是 到 的距离的3倍． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设 与 交于 ， 两点，求证：直线 与 的斜率之和为定值． 答案：（Ⅰ）由椭圆的方程可得 A(0，b) ， B(0，−b) ， 由题意可得 |2b+1|5=3×|−2b+1|5 ，解得 b=1 或 b=14 ． 当 b=14 时，点 A ， B 都在直线 l 的下方，不符合题意， 故 b=1 ． （Ⅱ）联立 {x2a2+y2=1，x−2y+1=0， 消去 y 可得 (4+a2)x2+2a2x−3a2=0 ， 设 P(x1，y1) ， Q(x2，y2) ，则 x1+x2=−2a24+a2 ， x1x2=−3a24+a2 ． 直线 BP 与 BQ 的斜率之和 kBP+kBQ=y1+1x1+y2+1x2 =12x1+32x1+12x2+32x2 =1+32(1x1+1x2) =1+32×x1+x2x1x2 =1+32×2a24+a23a24+a2=2 ． 因此直线 BP 与 BQ 的斜率之和为定值2．

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