题目

如图①，△ABC中，AB=AC，∠A=48°，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点。 （1） 【观察猜想】 图①中，线段PM与PN的数量关系是，∠MPN=°。 （2） 【探究证明】 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连结MN、BD，上述猜想的结论是否成立，请说明理由。 答案： 【1】PM=PN【2】132 成立。理由如下：如图，连接CE。 ∵∠BAC=∠DAE ∴∠BAD=∠CAE ∵AD=AE，AB=AC ∴△BAD≌△CAE（SAS） ∴BD=CE，∠ACE=∠ABD ∴MP、NP分别是△DEC和△BDC的中位线 ∴PM=12CE，PN=12BD， ∴PM=PN； ∵AB=AC，∠A=48° ∴∠B=∠ACB=12(180°-∠A)=66° ∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=66° ∴MP、NP分别是△DEC和△BDC的中位线 ∴PM∥CE，PN∥BD ∴∠MPD=∠ECD=∠ACD+∠ACE，∠PNC=∠DBC=∠ABC-∠ABD=∠ABC-∠ACE ∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠ACE+∠ABC-∠ACE=∠ACD+∠ABC=132°.  

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