题目

在四棱锥 中，四边形 为正方形， 为等边三角形.设平面 与平面 的交线为 ，设 ， 的中点分别为 ， ． （1） 若 ， ，证明：平面 平面 ； （2） 证明： 平面 ． 答案： 证明：由题意知， PA=AD=2 ， ∵AB=2 ， PB=22 ， ∴AB2+PA2=PB2 ，即 AB⊥PA ， ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴AB⊥AD ， 又 PA∩AD=A ， PA 、 AD⊂ 平面 PAD ， ∴AB⊥ 平面 PAD ， ∵AB⊂ 平面 ABCD ， ∴ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD ． ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴AD//BC ， ∵AD⊂ 平面 PAD ， BC⊂ 平面 PAD ， ∴BC// 平面 PAD ， 又 BC⊂ 平面 PBC ，平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l ， ∴BC//l ，即 AD//l ， ∵E ， F 分别为 AD ， BC 的中点， ∴EF⊥AD ， 又 △PAD 为等边三角形， ∴AD⊥PE ， ∵EF∩PE=E ， EF 、 PE⊂ 平面 PEF ， ∴AD⊥ 平面 PEF ， ∴l⊥ 平面 PEF ．

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