题目

如图，已知直线c和直线b相较于点（2，2），直线c过点（0，3）．平行于y轴的动直线a的解析式为x＝t，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）． （1） 求直线b和直线c的解析式； （2） 若P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰三角形，求点P的坐标． 答案： 解：设直线b的解析式为：y＝kx， 把（2，2）代入y＝kx得，k＝1， ∴直线b的解析式为：y＝x； 设直线c的解析式为：y＝kx+b， 把点（2，2），点（0，3）代入得， {2k+b=2b=3 ， ∴ {k=−12b=3 ， ∴直线c的解析式为：y＝ −12 x+3 解：∵当x＝t时，y＝x＝t；当x＝t时，y＝﹣ 12 x+3 ＝﹣ 12 t+3， ∴E点坐标为（t，﹣ 12 t+3），D点坐标为（t，t）． ∵E在D的上方， ∴DE＝﹣ 12 t+3﹣t＝﹣ 32 t+3，且t＜2， ∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE或PD＝DE或PE＝PD． t＞0时，PE＝DE时，﹣ 32 t+3＝t， ∴t＝ 65 ，﹣ 12 t+3＝ 125 ， ∴P点坐标为（0， 125 ）， ①若t＞0，PD＝DE时，﹣ 32 t+3＝t， ∴t＝ 65 ．∴P点坐标为（0， 65 ）； ②若t＞0，PE＝PD时，即DE为斜边，∴﹣ 32 t+3＝2t， ∴t＝ 67 ，DE的中点坐标为（t， 14 t+ 32 ）， ∴P点坐标为（0， 127 ）． 若t＜0，PE＝DE和PD＝DE时，由已知得DE＝﹣t，﹣ 32 t+3＝﹣t，t＝6＞0 （不符合题意，舍去）， 此时直线x＝t不存在． ③若t＜0，PE＝PD时，即DE为斜边，由已知得DE＝﹣2t，﹣ 32 t+3＝﹣2t， ∴t＝﹣6， 14 t+ 32 ＝0， ∴P点坐标为（0，0） 综上所述：当t＝ 65 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， 125 ）或（0， 65 ）； 当t＝ 67 时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0， 127 ）； 当t＝﹣6时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

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