题目

已知椭圆：的左、右焦点分别为 ， .离心率等于 ， 点在轴正半轴上，为直角三角形且面积等于2. （1） 求椭圆的标准方程； （2） 已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于 ， 两点，当点关于轴的对称点在直线上时，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由. 答案： 解：根据题意，由对称性得△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1PF2=90°，因为△PF1F2的面积等于2，所以|F1F2|=22，即c=2，因为椭圆C的离心率等于63，即e=63=2a，解得a=3，所以b2=a2−c2=1，所以椭圆C的标准方程为：x23+y2=1. 解：由（1）得P(0，2)，设直线l的方程为y=kx+m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点A关于y轴的对称点在直线PB上，所以直线PB与直线PA的斜率互为相反数，即kPB+kPA=0，因为kAP=y1−2x1，kBP=y2−2x2，所以y1−2x1+y2−2x2=0，整理得x2(y1−2)+x1(y2−2)=0又因为y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以2kx1x2+(m−2)(x1+x2)=0，由{y=kx+mx2+3y2=3消去y得(3k2+1)x2+6kmx+3m2−3=0，所以Δ>0，即m2<3k2+1，x1+x2=−6km3k2+1，x1x2=3m2−33k2+1，所以2k⋅3m2−33k2+1+(m−2)⋅(−6mk3k2+1)=0，整理得2k⋅(3m2−3)−6mk(m−2)=0，由于k≠0，故解方程得m=22，此时直线l的方程为y=kx+22，过定点(0，22)所以直线l恒过定点(0，22).

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