题目

抛物线l1：y＝x2+bx+c与它的对称轴x＝﹣2交于点A ， 且经过点B（0，﹣2）． （1） 求抛物线l1的解析式； （2） 如图1，直线y＝kx+2k﹣8（k＜0）与抛物线l1交于点E ， F ， 若△AEF的面积为 ，求k的值； （3） 如图2，将抛物线l1向下平移n（n＞0）个单位长度得到抛物线l2 ， 抛物线l2与y轴交于点C ， 过点C作x轴的平行线交抛物线l2于另一点D；抛物线l2的对称轴与x轴的交于点M ， P为线段OC上一点，若△POM与△PCD相似，并且符合该条件的点P有且只有2个，求n的值及相应点P的坐标． 答案： 解：∵y＝x2+bx+c与它的对称轴x＝﹣2交于点A，且经过点B（0，﹣2） ∴可得 {−b2=−2c=−2 ，解得 {b=4c=−2 ， ∴抛物线l1的解析式为y＝x2+4x﹣2． 解：如图1，设直线y＝kx+2k﹣8与抛物线l1的对称轴交点为G，则G（﹣2，﹣8）， 又可得抛物线l1的顶点A（﹣2，﹣6）， ∴AG=2， S△AEF=S△AGE﹣S△AGF =12AG(−2−xE)−12AG(−2−xF) =12AG(xF−xE) 又∵S△AEF＝2 2 ，AG＝2， ∴xF﹣xE＝2 2 ， 将抛物线l1与直线y＝kx+2k﹣8联立得 {y=x2+4x−2y=kx+2k−8 ， 消去y得x2+4x﹣2＝kx+2k﹣8， 整理得x2+（4﹣k）x﹣2k+6＝0，得 x=k−4±k2−82 ， ∴xF﹣xE＝ k2−8 ， ∴ k2−8=22 ， 解得k＝±4， 又k＜0， ∴k＝﹣4． 解：设抛物线l2的解析式为y＝x2+4x﹣2﹣m， ∴C（0，﹣2﹣n），D（﹣4，﹣2﹣n），M（﹣2，0） 设P（0，t）． ①当△PCD∽△MOP时， PCCD=MOOP ， ∴ t+2+n4=2−t ， ∴t2+（n+2）t+8＝0； ②当△PCD∽△POM时， PCCD=POOM ， ∴ t+2+n4=−t2 ， ∴t= −n+23 ； （Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时， △＝（n+2）2﹣4×1×8＝0， 解得n＝±4 2 ﹣2， 又n＞0， ∴n＝4 2 ﹣2， 此时方程①有两个相等实根t1＝t2＝﹣2 2 ，方程②有一个实数根t= −423 ； ∴n＝4 2 ﹣2， 此时点P的坐标为（0，﹣2 2 ）和（0， −423 ）； （Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时， 把②代入①，得： (n+2)29−(n+2)23+8=0 ，即（n+2）2＝36， 解得n1＝4，n2＝﹣8， 又n＞0， ∴n＝4， 此时方程①有两个不相等的实数根，t1＝﹣2，t2＝﹣4，方程①有一个实数根t＝﹣2； ∴n＝4， 此时点P坐标为（0，﹣2）和（0，﹣4）， 综上，当n＝4 2 ﹣2时，点P的坐标为（0，﹣2 2 ）和（0， −423 ）；当n＝4时，点P坐标为（0，﹣2）和（0，﹣4）．

查看本题答案和解析