题目

如图在梯形 中， ， ， 为 的中点 ，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）设 ， 分别为 ， 的中点，求三棱锥 的体积． 答案：解：（Ⅰ）由题意可知 BCDE 为正方形，∴ BC⊥BE ，且 BE⊥AE ，即 BE⊥PE 又 PE⊥BC ，且 PB∩BE=B ，∴ BC⊥ 平面 PBE ，∵ PE⊂PB ， E ， BC⊥PE 又 BC∩BE=B ，∴ PE⊥ 平面 BCDE . （Ⅱ）∵ G 为 PB 的中点，∴ SΔPGF=SΔBGF ，∴ VC−PGF=VC−BGF=12VC−PBF 又 F 为 PD 的中点，∴ SΔPBF=SΔBDF ，∴ VC−PBF=VC−BDF=12VC−PBD ∴ VG−BCF=VG−BGF=12VC−PBF=14VC−PBD=14VP−BCD 又 14VP−BCD=12VP−BCDE ，∴ VG−BCF=18VP−BCDE=18×13×2×2×2=13 .

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