题目

已知二次函数 的图象如图． （1） 求它的对称轴与x轴交点D的坐标； （2） 将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式； （3） 设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由． 答案： 解：由 y=14x2+32x ，得x=﹣ b2a =﹣ 322×(−14) =3，∴D（3，0）； 解：方法一：如图1，设平移后的抛物线的解析式为 y=14x2+32x+k ，则C（0，k）OC=k，令y=0即 14x2+32x+k=0 ，得 x1=3+4k+9 ， x2=3−4k+9 ，∴A (3−4k+9,0) ，B (3+4k+9,0) ，∴ AB2=(4k+9+3−3+4k+9)2=16k+36 ，AC2+BC2=k2+(3−4k+9)2+k2+(3+4k+9)2 =2k2+8k+36，∵AC2+BC2=AB2即：2k2+8k+36=16k+36，得k1=4，k2=0（舍去），∴抛物线的解析式为 y=14x2+32x+4 ，方法二：∵ y=14x2+32x ，∴顶点坐标 (3，94) ，设抛物线向上平移h个单位，则得到C（0，h），顶点坐标 M(3，94+h) ，∴平移后的抛物线： y=14(x−3)2+94+h ，当y=0时， 14(x−3)2+94+h=0 ，得 x1=3−4h+9 ， x2=3+4h+9 ，∴A (3-4h+9，0) ，B (3+4h+9，0) ，∵∠ACB=90°，∴△AOC∽△COB，则OC2=OA•OB，即 h2=(4h+9−3)(4h+9+3) ，解得h1=4，h2=0（不合题意舍去），∴平移后的抛物线： y=14(x−3)2+94+4=14(x−3)2+254 ； 解：方法一：如图2，由抛物线的解析式 y=14x2+32x+4 可得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M (3,254) ，过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3，∴ DM2=(254)2=62516 ，CM2=MH2+CH2=32+(254−4)2=22516 ，在Rt△COD中，CD= 32+42=5 =AD，∴点C在⊙D上，∵ DM2=(254)2=62516  CD2+CM2=52+22516=(254)2=62516 ，∴DM2=CM2+CD2∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，∴直线CM与⊙D相切．方法二：如图3，由抛物线的解析式可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M (3,254) ，作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH=3， DM=254 ，由勾股定理得 CM=154 ，∵DM∥OC，∴∠MCH=∠EMD，∴Rt△CMH∽Rt△DME，∴ DEMH=MDCM 得DE=5，由（2）知AB=10，∴⊙D的半径为5．∴直线CM与⊙D相切．

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