题目

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x＝2与x轴相交于点B ， 连接OA ， 二次函数y＝x2图象从点O沿OA方向平移，与直线x＝2交于点P ， 顶点M到A点时停止移动． （1） 求线段OA所在直线的函数解析式； （2） 二次函数的顶点M与A重合时，函数的图象是否过点Q（a ， a﹣1），并说明理由； （3） 设二次函数顶点M的横坐标为m ， 当m为何值时，线段PB最短，并求出二次函数的解析式． 答案： 解：设OA所在直线的函数解析式为y＝kx， ∵A（2，4）， ∴2k＝4，解得k＝2， ∴OA所在直线的函数解析式为y＝2x； 解：不过点Q，理由： 当二次函数的顶点M与A重合时，则顶点M的坐标为（2，4）， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+4＝x2﹣4x+8， 设当x＝a时，y＝x2﹣4x+8＝a2﹣4a+8＝a﹣1， 即a2﹣5a+9＝0， ∵△＝25﹣36＜0，故方程无解， 则函数的图象不过点Q（a，a﹣1）； 解：∵顶点M的横坐标为m，且在OA上移动， ∴y＝2m（0≤m≤2）， ∴M（m，2m）， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m， ∴当x＝2时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2）， ∴PB＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3（0≤m≤2）， ∴当m＝1时，PB最短，当PB最短时，抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2+2．

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