题目

如图1，等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠BCA=∠FDE=90°，AB=4 ，EF=8 ．点A、C、D、E在一条直线上，等腰Rt△DEF静止不动，初始时刻，C与D重合，之后等腰Rt△ABC从C出发，沿射线CE方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当A点与E点重合时，停止运动．设运动时间为t秒（t≥0）． （1） 直接写出线段AC、DE的长度； （2） 在等腰Rt△ABC的运动过程中，设等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围； （3） 在整个运动过程中，当线段AB与线段EF相交时，设交点为点M，点O为线段CE的中点；是否存在这样的t，使点E、O、M三点构成的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由． 答案： 解：在Rt△ABC中， AC=BC，AB=4 2 ， ∴AC=BC=4， 同理：DE=DF=8 解：当0＜t≤4时，如图1，设AB与BD的交点为G，由运动知，CD=t，∴DG=AD=4﹣t，∴S= 12 （DG+BC）×CD= 12 （4﹣t+4）×t=﹣ 12 t2+4t， 当4＜t≤8时， 如图3，记AB与EF的交点为P， 由运动知，CE=8﹣t， ∴CQ=8﹣t， ∴BQ=4﹣（8﹣t）=t﹣4， ∴S=S△ABC﹣S△PBQ= 12 ×4×4﹣ 12 （t﹣4）× 12 （t﹣4）=8﹣ 14 （t﹣4）2， 当8＜t＜12时，如图5， 记AB与EF的交点为N'， 由运动知，AC=4﹣（t﹣8）=t﹣4， ∴S=S△AEN'= 12 （t﹣4）× 12 （t﹣4）= 14 （t﹣4）2 解：当∠MOE=90°时，如图6， 即：点C与O重合， ∴t=4， 当∠OME=90°时，如图7， 点A和O重合， ∴t=8， 即：△MOE是等腰三角形时，t=4或8

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