题目

如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高线.动点D在线段AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE. （1） 若DM＝MC，则∠ACD＝度，∠BCE＝度； （2） 判断AD与BE是否相等，请说明理由； （3） 如图2，若AB＝12，P、Q两点在直线BE上且满足CP＝CQ＝10，试求PQ的长. （4） 在第（3）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值，若是，请直接写出PQ的长；若不是，请简单说明理由. 答案： 【1】15【2】15 解：AD＝BE.理由如下： ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝DE， ∴∠ACB﹣∠MCD＝∠DCE﹣∠MCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE； 解：如图2，过点C作CN⊥BQ于点N， ∵CP＝CQ， ∴PQ＝2PN， ∵△ABC是等边三角形，AM是中线， ∴BC＝AB＝12，CM⊥AD，CM＝ 12 BC＝ 12 ×12＝6， ∴CN＝CM＝6（全等三角形对应边上的高相等）， ∵CP＝CQ＝10， ∴PN＝ CP2−CN2 ＝ 102−62 ＝8， ∴PQ＝2PN＝16； 解：PQ的长为定值16.理由如下： 当点D在线段AM的延长线上时，如图3所示： 同（2）得：△ACD≌△BCE（SAS）， ∴对应边AD、BE上的高线对应相等， ∴CN＝CM＝6， ∵CQ＝CP＝10， ∴QN＝PN＝ CP2−CN2 ＝ 102−62 ＝8， ∴PQ＝2PN＝16， 即PQ的长是定值； 当点D在线段AM的反向延长线上时，如图4所示： 同（2）得：△ACD≌△BCE（SAS）， ∴对应边AD、BE上的高线对应相等， ∴CN＝CM＝6， ∵CQ＝CP＝10， ∴QN＝PN＝ CP2−CN2 ＝ 102−62 ＝8， ∴PQ＝2PN＝16， 即PQ的长是定值； 综上所述，PQ的长是定值，为16.

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