题目

 问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点。 问题探究：（1）在旋转过程中， ①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由。 ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由。 ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明） （2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由。                 图1                 图2                     图3 答案：（1）①DP＝DQ             理由：连接CD， ，△ABC是等腰直角三角形， ，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，                  ②。             理由：如图，过点D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分别为M、N， ∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∴∠MDP＝∠NDQ， ∴△DPM∽△DQN，。 ∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B， ∴△AMD∽△BND，。 ， 。                     ③。                     （2）存在，设，由（1）①知， ， 当DP⊥AC时，x最小，最小值是，此时，S有最小值，                    当点P与点A重合时，x最大，最大值是10，此时，S有最大值，

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