题目

已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点B，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB． （1） 当a＝﹣2时，求线段OB的长． （2） 是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由． （3） 设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式． 答案： 解：当a＝−2时，y＝−2（x−1）（x−3）＝−2x2＋8x−6， 当x＝0时，得y＝−6， ∴点C（0，−6）， 当y＝−6时，即−6＝−2x2＋8x−6， 解得：x1＝0，x2＝4， ∴点B（4，−6） ∴BC＝4，OC＝6， ∴OB═ OC2+BC2=213 解：在y＝a（x−1）（x−3）中，令x＝0，得y＝3a， ∴C（0，3a），B（4，3a）， ∵点A是抛物线的顶点， ∴A（2，−a）， 当△OBD为等腰三角形时，分类讨论： ①OB＝BD时,a＝−1） ②OD＝BD时，a＝ −42121 ③OD＝OB时，此种情况不可能 综上：a＝−1或a= −42121 解：∵点M是△OBD的外心， ∴点M在BD的垂直平分线上，OM＝MD，BD垂直于x轴， ∴n＝ 12 a ∵M（m，n），D（4，−2a）， 据OM2=DM2得 m＝3n2＋2．

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