题目

抛物线 经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，4）.   （1） 求抛物线的表达式； （2） 点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标； （3） 在（2）的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q，该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由. 答案： 解：把A（-1，0）、B（4，0）、C（0，4）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c得， {a−b+c=016a+4b+c=0c=4  ， 解得： {a=−1b=3c=4 故抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4； 解：设P点坐标为（x，-x2+3x+4），如图， ∴四边形COBP的面积=S△COP+ S△BOP= 12×4·x+12×(−x2+3x+4)×4 =-2x2+8x+8 ∵直线BC平分四边形COBP的面积 ∴四边形COBP的面积=2S△COB  即：-2x2+8x+8= 2×12×4×4 解得x=2 将x=2代入抛物线表达式得y=6 故点P坐标为（2，6） 解：存在 ①当AQ为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为 92 ， y=Q−(92)2+3×92+4=−94 故Q（ 92，−94 ） ②当AN为平行四边形的对角线时，Q点横坐标为 −32 ， yQ=−(−32)2−3×32+4=−94 故Q（ −32,−94 ） 综上所述，Q点坐标为（ 92，−94 )或（ −32,−94 ）

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