题目

已知 ， ，（ 为自然对数的底数， …）. （Ⅰ）当 时，若函数 与直线 相切于点 ，求 ， 的值； （Ⅱ）当 时，若对任意的正实数 ， 有且只有一个极值点，求负实数 的取值范围. 答案：（Ⅰ）当 a=0 时， f(x)=−e6x3+bx2+cx ， f′(x)=−e2x2+2bx+c ， 由题知 f(1)=e 且 f′(1)=e ，所以 {−e6+b+c=e−e2+2b+c=e ，解得 b=e3 ， c=5e6 （Ⅱ）当 a=1e 时， f(x)=ex−1−e6x3+bx2+cx ，则 f′(x)=ex−1−e2x2+2bx+c 令 h(x)=ex−1−e2x2+2bx+c ， 则 h′(x)=ex−1−ex+2b ，令 t(x)=ex−1−ex+2b ， 则 t′(x)=ex−1−e ， 当 x∈(−∞,2) 时 t(x)<0 ， t(x) 在 (−∞,2) 上单调递减， 当 x∈(2,+∞) 时 t(x)>0 ， t(x) 在 (2,+∞) 上单调递增，所以 t(x)min=t(2)=2b−e . ⑴当 b≥e2 时， t(x)=h′(x)≥0 恒成立，所以 f′(x) 在 R 上单调递增， 故 f′(x)=0 在 R 上有唯一解，所以 f(x) 有且只有一个极值点. ⑵当 0<b<e2 时， t(2)=2b−e<0 ，所以 t(x) 有两个零点 x1 ， x2 ， 即方程 ex−1−ex+2b=0 有两根 x1 ， x2 ， 又因为 t(0)=1e+b>0 ，所以 0<x1<2<x2 ， 所以 h(x) 在 (−∞,x1) 上单调递增，在 (x1,x2) 上单调递减，在 (x2,+∞) 上单调递增， 所以要使 h(x) 只有一个变号零点只需 h(x1)≤0 或 h(x2)≥0 . 首先考虑： h(x1)=ex1−1−e2x12+2bx1+c=(1−x1)ex1−1+e2x12+c(0<x1<2) ， 令 p(x)=(1−x)ex−1+e2x2+c ， p′(x)=x(e−ex−1) ， 即 p(x) 在 (0,2) 上单调递增，所以 p(x)<p(2) ， 要使 h(x1)≤0 恒成立，只需 p(2)≤0 即可，即 c≤−e . 其次考虑： h(x2)=(1−x2)ex2−1+e2x22+c ，因为 p(x) 在 (2,+∞) 上单调递减， 同理可得，所以要使得 h(x2)>0 恒成立不可能，即 c 无解. 综上可知： c 的取值范围为 c≤−e .

查看本题答案和解析