题目

已知函数 ． （1） 若 在 单调递增，求实数 的取值范围； （2） 若 ，且 仅有一个极值点 ，求实数 的取值范围，并证明： ． 答案： f′(x)=1x−a(x>0) f(x) 在 (0，+∞) 单调递增，∴ f′(x)≥0 在 (0，+∞) 恒成立 ∴ a≤1x 在 (0，+∞) 恒成立，∴ a≤0 ． 设 g(x)=h′(x)=1+lnx−2ax ， g′(x)=1x−2a ， ①当 a>0 时，令 g′(x)=1x−2a=0 得： x=12a ， x∈(0，12a) ， g′(x)>0 ， g(x) 单调递增， x∈(12a，+∞) ， g′(x)<0 ， g(x) 单调递减， 若 g(12a)≤0 ， h′(x)≤0 恒成立， h(x) 无极值； 若 g(12a)>0 ， h′(12a)>0 ，而 h′(1e)=−2ae<0 ， h′(1a2)=−2lna+1−2a<0 ， 此时 h(x) 有两个极值点； 故 a>0 不符合题意． ②当 a=0 时， x∈(0，1e) ， h′(x)<0 ， h(x) 单调递减， x∈(1e，+∞) ， h′(x)>0 ， h(x) 单调递增， 所以 h(x) 有唯一极小值点 1e ， h(1e)=−1e ． ③当 a<0 时， g′(x)>0 恒成立， g(x)=h′(x) 单调递增； 取 b 满足 0<b<−12a 且 0<b<1e2 时， h′(b)<0 ，而 h′(1e)=−2ae>0 ， 此时由零点存在定理知： h′(x)=0 有唯一的零点 x0 ， h(x) 只有一个极值点 x0 ， 且 x0∈(0，1e) ， 由题知 h(x0)=x0lnx0−ax02 ，又 h′(x0)=1+lnx0−2ax0=0 ， ∴ ax0=12(1+lnx0) ， ∴ h(x0)=x0lnx0−12x0(1+lnx0)=12x0lnx0−12x0 ， 设 u(x)=12xlnx−12x ， u′(x)=12lnx ，当 x∈(0，1e) ， u′(x)<0 ， u(x) 单调递减， ∴ u(x)>u(1e)=−1e ，∴ h(x0)>−1e 成立 综上， h(x) 只有一个极值点 x0 时， a 的取值范围为 (−∞，0] ，且 h(x0)≥−1e ．

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