题目

已知 均为正实数，函数 的最小值为 .证明： （1） ； （2） . 答案： 证明：由题意 a,b,c>0 ，则函数 f(x)=|x+1a2|+|x−1b2|+14c2 ≥|x+1a2−(x−1b2)|+14c2 =1a2+1b2+14c2 ， 又函数 f(x) 的最小值为 1 ，即 1a2+1b2+14c2 =1 ， 由柯西不等式得 (a2+b2+4c2) (1a2+1b2+14c2) ≥(1+1+1)2=9 ， 当且仅当 a=b=2c=3 时取“=”. 故 a2+b2+4c2≥9 . 证明：由题意，利用基本不等式可得 1a2+1b2≥2ab ， 1b2+14c2≥1bc ， 1a2+14c2≥1ac ， （以上三式当且仅当 a=b=2c=3 时同时取“=”） 由（1）知， 1a2+1b2+14c2=1 ， 所以，将以上三式相加得 2ab+1bc+1ac≤ 2(1a2+1b2+14c2)=2 即 1ab+12bc+12ac≤1 .

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