题目

已知函数 ， 无穷数列满足 ， . （1） 若 ， 写出数列的通项公式（不必证明）； （2） 若 ， 且 ， ， 成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由； （3） 证明： ， ， ， ， 成等差数列的充要条件是. 答案： 因为an+1=f(an)，所以a2=0，a3=2，a4=0，所以an={2，n为奇数0，n为偶数； 因为a2=2−|a1|=2−a1，a3=2−|a2|=2−|2−a1|={a1(0<a1≤2)4−a1(a1≥2).当0<a1≤2时，由a22=a1×a3⇒(2−a1)2=a12⇒a1=1，所以a1=a2=a3=1，所以q=1，即an=1为等比数列；当a1>2时，由a22=a1×a3⇒(2−a)2=a1(4−a1)⇒a1=2+2(a1=2−2舍)， 所以a2=−2，a3=2−2，a4=2，因为a4a3=22−2≠a3a2=2−2−2，所以数列{an}不是等比数列；综上，当0<a1≤2时，{an}是等比数列，当a1>2时，{an}不是等比数列； 充分性：当a1=1时，由(2)知an=1，此时{an}为等差数列；必要性：当a1≤0时， a2=2+a1，所以d=a2−a1=2，所以，数列{an}为递增数列，易知，存在am>0，此时d=am+1−am=2−2am<2，与d=2矛盾，舍去；当0<a1≤2时，由2a2=a1+a3⇒2(2−a1)=2a1⇒a1=1，所以a1=a2=a3=1，所以，d=1，即an=1为等差数列；当a1>2时，由2a2=a1+a3⇒2(2−a1)=a1+(4−a1)⇒a1=0与a1=1不符，舍去；综上，a1，a2，⋯，an，⋯成等差数列的充要条件是a1=1 .

查看本题答案和解析