题目

如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，且 ， ． （1） 求点A，C的坐标； （2） 将矩形纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分 的面积． （3） 求EF所在直线的函数解析式． 答案： 解：如图， ∵∠AOC=90° ， ∴CO2+AO2=AC2 ， ∵OA=2OC ， AC=45 ， ∴CO2+(2CO)2=(45)2 ， 解得， CO=4 或 CO=−4 （不符合题意，舍去）， ∴AO=8 ， ∴A（8，0），C（0，4）． 解：如图，AC与EF交于点D，由折叠可知，EF垂直平分AC， ∴AE=CE ， AD=CD ， ∠ADE=∠CDF=90° ， ∵四边形OABC是矩形， ∴BC∥OA ， ∴∠DAE=∠DCF ， ∴△DAE≌△DCF(ASA) ， ∴DE=DF ， ∵AO=8 ， ∴CE=AE=8−EO ， ∵CO=4 ， CO2+EO2=CE2 ， ∴42+EO2=(8−EO)2 ， 解得， EO=3 ， ∴CE=8−3=5 ， ∵CD=12AC=12×45=25 ， ∠CDE=90° ， ∴DE=CE2−CD2=52−(25)2=5 ， ∴DF=DE=5 ， ∴EF=DE+DF=5+5=25 ， ∵CD⊥EF ， ∴S△CEF=12×25×25=10 ， ∴重叠部分 △CEF 的面积为10． 解：设EF所在直线的函数解析式为 y=kx+b ， 由（2）得， EO=3 ， CE=5 ， DE=DF ， AC⊥EF ， ∴AC垂直平分EF， ∴CF=CE=5 ， ∴E（3，0），F（5，4）， 把E（3，0）、F（5，4）代入 y=kx+b ， 得 {3k+b=05k+b=4 ， 解得 {k=2 b=−6 ， ∴EF所在直线的函数解析式为 y=2x−6 ．

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