题目

已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.   （1） 如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB； （2） 如图②，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝ ，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积； （3） 如图③，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝ ，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长(用含n的式子表示)． 答案： 解：∵∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝90°， ∴∠ABE＝∠CDE. 又∵∠AEB＝∠CED， ∴△EAB∽△ECD， ∴ EBED=EAEC ， ∴ED·EA＝EC·EB. 解：过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H. ∵CD＝5，cos∠ADC＝ 35 ， ∴DG＝3，CG＝4. ∵S△CED＝6， ∴ED＝3， ∴EG＝6. ∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°， ∴BH＝6，AH＝6 3 . 由(1)得△ECG∽△EAH， ∴ EGEH=CGAH ， ∴EH＝9 3 ， ∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝ 12 ×6 3 ×9 3 －6－ 12 ×6 3 ×6＝75－18 3 . 解：作CH⊥AD于H，则CH＝4，DH＝3. ∴tanE＝ 4n+3 .作AG⊥DF于点G. 设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a， ∴FG＝DF－DG＝5＋n－3a. ∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F， ∴△AFG∽△CEH， ∴ AGFG ＝ CHEH ， ∴ 4a5+n−3a ＝ 4n+3 ， ∴a＝ n+5n+6 ， ∴AD＝5a＝ 5n+25n+6 .

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