题目

梯形BDEF所在平面垂直于平面ABCD于BD，EF∥BD，EF=DE= BD，BD=BC=CD= AB= AD=2，DE⊥BC． （1） 求证：DE⊥平面ABCD； （2） 求平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值． 答案： 证明：连接AC，交BD于O，∵BD=BC=CD，且AB=AD，∴AC⊥BD，∵平面BDEF⊥平面ABCD，交线为BD，且AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面BDEF，∵DE⊂平面BDEF，∴DE⊥AC，又DE⊥BC，且AC∩BC=C，∴DE⊥平面ABCD． 解：∵EF∥BD，EF= 12 BD，且O是BD中点，∴ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴OF⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OC为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（﹣ 3 ，0，0），E（0，﹣1，1），F（0，0，1），AF→ =（﹣1，0，1）， EF→ =（0，1，0）， CF→ =（ 3,0,1 ），设平面AEF的法向量 m→ =（x，y，z），则 {m→⋅AF→=−x+z=0m→⋅EF→=y=0 ，取x=1，得 m→ =（1，0，1），设平面CEF的法向量 n→=(a,b,c) ，则 {n→⋅CF→=3a+c=0n→⋅EF→=b=0 ，取a=1，得 n→ =（1，0，﹣ 3 ），∴cos＜ m→,n→ ＞= n→⋅m→|n→|⋅|m→| = 1−32⋅2 = 2−64 ．即平面AEF与平面CEF所成的锐二面角的余弦值为 6−24 ．

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