题目

如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝m(m＞1)，点E是AD边上一定点，且AE＝1． （1） 当m＝3时，AB上存在点F，使△AEF与△BCF相似，求AF的长度． （2） 如图②，当m＝3.5时．用直尺和圆规在AB上作出所有使△AEF与△BCF相似的点F．(不写作法，保留作图痕迹) （3） 对于每一个确定的m的值，AB上存在几个点F，使得△AEF与△BCF相似？ 答案： 解：①当∠AEF＝∠BFC时， 要使△AEF∽△BFC，需 AEBF=AFBC ，即 14−AF=AF3 ， 解得AF＝1或3； ②当∠AEF＝∠BCF时， 要使△AEF∽△BCF，需 ＝ ，即 13=AF4−AF ， 解得AF＝1； 综上所述AF＝1或3 解：如下图所示，图中F1、F2、F3为所求点； 解：如（2）中所作图形， 当m=4时，由已知条件可得DE=3，则CE=5，即图中圆的直径为5，由梯形中位线定理可得此时图中所作圆的圆心到AB的距离=2.5=所作圆的半径，F2和F3重合，即当m=4时，符合条件的F有2个； 当m>4时，图中所作圆和AB相离，此时F2和F3不存在了，即此时符合条件的F只有F11个； 而当1＜m＜4且m≠3时，由所作图形可知，符合条件的F有3个； 综上所述：可得：①当1＜m＜4且m≠3时，符合条件的F有3个； ②当m＝3时，符合条件的F有2个；③当m＝4时，符合条件的F有2个；④当m＞4时，符合条件的F有1个.

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