题目

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于另一点D，E为AC上一点，且AE=DE. （1） 求证：DE是⊙O的切线； （2） 若OB=2，OC=1，tanA= ，求AE的长. 答案： 证明：连接OD， ∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∵AE=DE，∴∠EDA=∠A，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°，∴∠ODB+∠EDA=90°，∴∠ODE=90°，∴DO⊥ED，∴ED是⊙O的切线 解：延长BC交圆O于点F，连接DF， ∵BF是圆O的直径，∴∠BDF=90°， ∵∠BCA=90°，∠B的余角相等，∴∠F=∠A， ∵OB=2，OC=1，tanA= 12 ，∴BF=4，tanF= 12 ，∴ BD2+(2BD)2 =4，∴BD= 455 ； ∵BC=OB+OC=3，tanA= 12 ，∴AC=6，∴AB= BC2+AC2 =3 5 ，∴AD=AB-BD= 1155 ； 过点E作EG⊥AD，垂足为G，∵AE=DE，∴DG=AG，设EG=x，则AG=2x，AE= 5 x， ∴4x= 1155 ，∴x= 11520 ，∴ 5 x= 11520×5 = 114 ，∴AE= 114

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