题目

设，函数． （１）求的单调递增区间； （２）设问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由； （３）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为直线的斜率为．证明：． 答案：在区间上，． （Ⅰ） ． （1）当时，∵，∴恒成立，的单调增区间为； （2）当时，令，即，得 ∴的单调增区间为 综上所述： 当时，的单调增区间为； 当时，的单调增区间为. ………………… 4分 （Ⅱ） 得 当时，恒有 ∴在上为单调增函数， 故在上无极值；  ………………… 6分 当时，令，得 单调递增， 单调递减． ∴ 无极小值 综上所述：当时，无极值； 当时，有极大值，无极小值．…………………  8分 （Ⅲ）证明：， 又，所以， 要证，即证，………………… 10分 不妨设，即证，即证， 设，即证：， 也就是要证：，其中，………………… 12分 事实上：设， 则， 所以在上单调递增，因此，即结论成立．………………… 16分

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