题目

已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 . 答案：解：（Ⅰ）由题意知当 n≥2 时， an=Sn−Sn−1=6n+5 ，当 n=1 时， a1=S1=11 ，所以 an=6n+5 ．设数列 {bn} 的公差为 d ，由 {a1=b1+b2a2=b2+b3 ，即 {11=2b1+d17=2b1+3d ，可解得 b1=4,d=3 ，所以 bn=3n+1 ．（Ⅱ）由（1）知 cn=(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)⋅2n+1 ，又 Tn=c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn ，得 Tn=3×[2×22+3×23+4×24+⋅⋅⋅+(n+1)×2n+1] ， 2Tn=3×[2×23+3×24+4×25+⋅⋅⋅+(n+1)×2n+2] ，两式作差，得 −Tn=3×[2×22+23+24+⋅⋅⋅+2n+1−(n+1)×2n+2]=3×[4+4(2n−1)2−1−(n+1)×2n+2]=−3n⋅2n+2 所以 Tn=3n⋅2n+2 ．

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