题目

已知函数 . （1） 当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程； （2） 若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围. 答案： 解：当 a=2 时， f(x)=ex−2x2,f(0)=1 ， f′(x)=ex−4x,f′(0)=1 ， 所以切线方程为 y−1=x ，即 x−y+1=0 . 解： f′(x)=ex−2ax ，由已知得 ex−2ax≥0 恒成立. 令 g(x)=ex−2ax ，则 g′(x)=ex−2a . ① a≤0 时， g′(x)>0,g(x) 在 R 上单调递增， 且 x→−∞ 时， g(x)→−∞ ，无最小值，不合题意. ②当 a>0 时，令 g′(x)=0 得 x=ln(2a) ， x∈(−∞,ln(2a)) 时， g′(x)<0,g(x) 单调递减； x∈(ln(2a),+∞) 时， g′(x)>0,g(x) 单调递增， 所以 g(x)min=g(ln(2a))=eln(2a)−2aln(2a)=2a−2aln(2a)≥0 . 所以 1−ln(2a)≥0, 则 0<a≤e2 . 综上所述， 0<a≤e2 .

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